四元数雑記？ - 長めのメモ

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基底の対称性

$q=a+bi+cj+dk\ (a,b,c,d\in\mathcal{R})$
$i^2=j^2=k^2=-1$
$ij=k,jk=i,ki=j$
$ji=-k,kj=-i,ik=-j$
$j=k=0$ のときには $q$ は複素数とみなせる。 $k=i=0$ または $i=j=0$ のときも、それぞれ $j,k$ を虚数単位として複素数とみなせる。 $i,j,k$ は3すくみの対称性をもつ。

基底の再設定

$a=0, b^2+c^2+d^2=1$ のとき（ $i,j,k$ はこの条件を満たす）、

$\quad q^2\\=(bi+cj+dk)^2\\=-(b^2+c^2+d^2)+bc(ij+ji)+cd(jk+kj)+db(ki+ik)\\=-1$

$i’=b_1i+c_1j+d_1k\ \ (b_1^2+c_1^2+d_1^2=1),\\j’=b_2i+c_2j+d_2k\ \ (b_2^2+c_2^2+d_2^2=1),\\b_1b_2+c_1c_2+d_1d_2=0\ \ (すなわち\ (b_1,c_1,d_1)\perp(b_2,c_2,d_2)\ )$
とおく。

$\quad i’j’\\=(b_1i+c_1j+d_1k)(b_2i+c_2j+d_2k)\\=-(b_1b_2+c_1c_2+d_1d_2)\quad(=0)\\\quad+(c_1d_2+d_1c_2)i\\\quad+(d_1b_2+b_1d_2)j\\\quad+(b_1c_2+c_1b_2)k$

$(c_1d_2+d_1c_2,d_1b_2+b_1d_2,b_1c_2+c_1b_2)=(b_1,c_1,d_1)\times(b_2,c_2,d_2)$ である。

$k’=(c_1d_2+d_1c_2)i+(d_1b_2+b_1d_2)j+(b_1c_2+c_1b_2)k$ とおくと、
$i’^2=j’^2=k’^2=-1$
$i’j’=k’,j’k’=i’,k’i’=j’$
$j’i’=-k’,k’j’=-i’,i’k’=-j’$
を満たす。
このようにして、i軸、j軸、k軸の張る三次元空間で互いに直行する3つの単位ベクトルを、四元数の3つの基底として選び直すことができる（向きに注意する）。

積の幾何

$i1=i,ii=-1,i(-1)=-i,i(-i)=1$
これらの式は、 $i$ を掛けることが $(1,i)$ 平面において $\frac\pi2$ の回転にあたることを示唆する。実際、複素数の積は絶対値の積と偏角の和にあたる。

$ij=k,ik=-j,i(-j)=-k,i(-k)=j$
これらの式は、 $i$ を掛けることが $(j,k)$ 平面において $\frac\pi2$ の回転にあたることを示唆する。実際その通りである。
$(\cos\theta+i\sin\theta)(cj+dk)=(c\cos\theta-d\sin\theta)j+(d\sin\theta+c\cos\theta)k$
右から掛ければ回転方向は逆になる。

$v=bi+cj+dk$ とおき、 $q=s+tv$ とする（vは先ほどの通り $i$ として選び直せる）。q に対して、偏角（スカラー）や指数関数は $v$ を虚数単位とみなして複素数のときと同じように定義される。
四元数 $p$ を、 $(1,v)$ 平面に平行な成分 $p_\parallel$ と垂直な成分 $p_\perp$ に分解して、
$p=p_\parallel+p_\perp$ とする。
$qp=qp_\parallel+qp_\perp$
つまり四元数同士の積は、掛ける数と $1$ とが張る平面の平行成分と垂直成分をそれぞれその平面で回転させ、絶対値の積を取ったものとみなせる。
右から掛けるとはつまり積の順序を入れ替えることであり、垂直成分の回転方向を逆にした場合の結果と乗数・被乗数を入れ替えて考えた場合の結果が一致することになる。これはあまり直感的でない。