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雑まとめ:iのi乗が見えるまで

ei

指数関数

e^{ax}

は、導関数が元の関数の a 倍である。

(e^{ax})'=ae^{ax}


なので、

e^{ix}

は、導関数が元の関数の i 倍である。

(e^{ix})'=ie^{ix}


i 倍は複素平面上での 90 度回転に当たる。

f:id:dearsip:20170130142132p:plain

よって円を描く。

f:id:dearsip:20170130143011g:plain

絶対値は常に 1(半径)なので、x は描いた弧の長さすなわち回転角に対応する。

e^i は、絶対値 1偏角 1 の点である。

f:id:dearsip:20170111165300p:plain

下図は ze^z の対応である。点をドラッグして動かせる。
右図は、左図を筒状に丸めて上から覗き込んだような関係にある。
「左右に動かして回転」という直感的操作と合致させるため、z複素平面90 度回転させてある。

ii

a^b

e^{b\log a}

とされ、指数の積で計算できる。


積は三角形で表せる。

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i は絶対値 1\ (=e^0)偏角 \frac\pi2+2\pi n\ \ (n\in\mathbb Z) であるから、\log iei にする指数)は

\log i=\displaystyle\frac\pi2i+2\pi ni\ \ (n\in\mathbb Z)

となる。主値(代表)として

\mathrm{Log}\  i=\displaystyle\frac\pi2i

を取っておく。

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これと、指数 i

f:id:dearsip:20170131171324p:plain

との積をとる。i^i の主値は、

\displaystyle{e^{i\ \mathrm{Log}\  i}=e^{i\cdot\frac\pi2i}=e^{-\frac\pi2}}

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